モンティ・ホール問題のシミュレーションをしてみる

モンティ・ホール問題という有名な確率の問題があります。

例えばクイズ番組に参加したとする。
最後のボーナスチャレンジで3つの扉のうち、一つに車。
残りはヤギがいたする。見事車の扉を開くことが出来れば車をゲット!
ちなみに司会者は答えを知っている。
まずあなたが選んだのは1の扉。
すると司会者は2, 3の扉のうち3の扉を開けて車が無いことを示した。
次に司会者はあなたに「最初に選んだ扉を変えるか」と聞いてきた。
さぁあなたならどうする!?
そしてその理由は?

これはモンティ・ホール問題と呼ばれ数々の数学者を悩ませてきました。

今回はこれについて解説とシミュレーションの結果を示してみます!

モンティ・ホール問題の解答と解説
モンティ・ホール問題のシミュレーションコード
モンティ・ホール問題シミュレーション結果
まとめ

モンティ・ホール問題の解答と解説

これの解答は
「変える」
が正解です。
そして解説は
前提となる

最初の当たる確率は 1/3
司会者は答えを知っている

がポイントです。

まず
1の扉を選びます。
この段階で1の扉で車が当たる確率は 1/3
すると2, 3の扉で当たる確率は 2/3
となります。

扉	1	2, 3
確率	1/3	2/3

次に司会者は 2, 3の扉のうち3の扉を開け、車が無いと示した。

扉	1	2	3
結果	まだわからない	まだわからない	ヤギ

ここでもう一度最初の表

扉	1	2, 3
確率	1/3	2/3

しかし、3はヤギであることがわかっているので、
3の確率は0

2の確率 + 3の確率 = 2/3
ここで
3の確率 = 0
より
2の確率 = 2/3

扉	1	2	3
確率	1/3	2/3	0

となり、結果2の方が1と比較しなんと2倍の確率となります!!

つまり、
「最初に選んだ扉から変えたほうが当たる確率が上がる。よって変えるべき」
という結果になります。

数学的に確率論的にこのような解答となりました。

では次にシミュレーションコードを示します

モンティ・ホール問題のシミュレーションコード

今回はrubyで書きました。

def monty(change_flag)
  gate = ["goat", "goat", "goat"]
  car  = rand(3)
  gate[car] = "car"
  first_choice = rand(3)
  for i in [0,1,2]
    if i != car and i != first_choice
      mc_choice = i 
    end 
  end 
  
  car_flag = 0 

  if change_flag == 1
    for j in [0,1,2]
      if j != mc_choice and j != first_choice
        second_choice = j 
      end 
    end 

    if gate[second_choice] == "car"
      car_flag = 1 
    end 
  else
    
    if gate[first_choice] == "car"
      car_flag = 1 
    end 
  end 
  return car_flag
end

実行部は

count_change = 0 
for i in 1..1000
  count_change = count_change + monty(1)
end
count_nochange = 0 
for j in 1..1000
  count_nochange = count_nochange + monty(0)
end

p 'change'
p count_change

p 'no change'
p count_nochange